Equação exponencial A facilidade de usar a equação exponencial levou a relação a ser utilizada por diferentes pesquisadores e em várias formas 1, 15. Em métodos quantitativos, uma aplicação aparentemente diferente da equação exponencial aparece sob a forma do problema de enfileiramento ou chegada. Dada a precisão desse ajuste, a equação exponencial foi usada para prever a provável produção anual de gás para um possível novo poço e como base para a análise financeira a seguir. Isso confirma a adequação dos estudos teóricos para o processo de ozonização real, pois a consequência dos estudos teóricos é também uma equação exponencial. Para feijão, a mesma equação exponencial cúbica foi ajustada aos dados LA, GLDM, PEDM, SDM, TDM e RDM. Observações revelaram que a mudança na resistência à compressão do concreto resultante da introdução de diferentes quantidades de CR pode ser aproximada matematicamente por equação exponencial de uma maneira muito precisa. Os coeficientes RMSE agregados para descontos hiperbólicos foram significativamente inferiores aos da equação exponencial (ver Tabela 1). A seguinte equação exponencial (29) fornece uma boa estimativa da dependência do tamanho de partícula na concentração de HDPE-g-MAH. R da extensão seguinte da equação exponencial de Cauchys (ver Exemplo 2. 11) é chamada de equação exponencial areolar do tipo Fempl 4. Os parâmetros para o USLE foram ajustados por dois métodos: (i) ajustar uma equação exponencial à perda de solo - dados de cobertura (combinando as equações 2 e 4), e (ii) otimizar os parâmetros K e bcov para minimizar a soma dos quadrados de erros (SSE) para as perdas anuais medias e modeladas do solo. A forma da curva foi encontrada para seguir quase perfeitamente a equação exponencial geral como expressa abaixo. Bernoullis Equação A equação de Bernoulli afirma que, onde os pontos 1 e 2 estão em uma linha de fluxo, o fluido tem densidade constante, o fluxo é estável, e lá Não é fricção. Embora estas restrições som grave, a equação de Bernoulli é muito útil, em parte porque é muito simples de usar e em parte porque pode dar grande insight sobre o equilíbrio entre pressão, velocidade e elevação. Quão útil é a equação de Bernoullis Quão restritivas são as suposições que governam seu uso Aqui damos alguns exemplos. Variação da velocidade de pressão Considere o fluxo constante de um fluido de densidade constante em um duto convergente, sem perdas devido ao atrito (figura 14). O fluxo, portanto, satisfaz todas as restrições que regem o uso da equação de Bernoullis. A montante e a jusante da contração, fazemos a suposição unidimensional de que a velocidade é constante nas áreas de entrada e saída e paralela. Figura 14. Canal unidimensional que mostra o volume de controlo. Quando as linhas de fluxo são paralelas, a pressão é constante entre elas, exceto para as diferenças de cabeça hidrostática (se a pressão fosse maior no meio do duto, por exemplo, esperaríamos que as linhas de fluxo divergissem e vice-versa). Se ignorarmos a gravidade, então as pressões sobre as áreas de entrada e saída são constantes. Ao longo de uma linha de fluxo na linha central, a equação de Bernoulli e a equação de continuidade unidimensional fornecem, respectivamente, duas observações que fornecem um guia intuitivo para analisar fluxos de fluidos, mesmo quando o fluxo não é unidimensional. Por exemplo, quando o fluido passa sobre um corpo sólido, as linhas de fluxo se aproximam, a velocidade de fluxo aumenta e a pressão diminui. As superfícies de apoio são concebidas de modo a que o fluxo sobre a superfície de topo seja mais rápido do que sobre a superfície de fundo e, por conseguinte, a pressão média sobre a superfície de topo seja inferior à pressão média sobre a superfície de fundo e uma força resultante devido a esta diferença de pressão é produzida . Esta é a fonte de elevação em um aerofólio. A elevação é definida como a força que actua sobre um aerofólio devido ao seu movimento, numa direcção normal à direcção do movimento. Da mesma forma, o arrasto sobre um perfil aerodinâmico é definido como a força que atua sobre um aerofólio devido ao seu movimento, ao longo da direção do movimento. Uma demonstração fácil do elevador produzido por uma corrente de ar requer um pedaço de papel de caderno e dois livros de espessura aproximadamente igual. Coloque os livros de quatro a cinco centímetros de distância, e cobrir a lacuna com o papel. Por que mais dois exemplos: Uma bola de tênis de mesa colocada em um jato de ar vertical fica suspensa no jato, e é muito estável para pequenas perturbações em qualquer direção . Empurrar a bola para baixo, e ele retorna à sua posição de equilíbrio empurrá-lo para os lados, e rapidamente retorna à sua posição original no centro do jato. Na direção vertical, o peso da esfera é equilibrado por uma força devido a diferenças de pressão: a pressão sobre a metade traseira da esfera é menor do que sobre a metade dianteira por causa de perdas que ocorrem na esteira (grandes redemoinhos formam na Despertar que dissipam muita energia de fluxo). Para entender o equilíbrio de forças na direção horizontal, você precisa saber que o jato tem sua velocidade máxima no centro ea velocidade do jato diminui em direção a suas bordas. A posição da bola é estável porque se a bola se move para o lado, seu lado externo move-se para uma região de menor velocidade e maior pressão, enquanto seu lado interno se aproxima do centro onde a velocidade é maior ea pressão é menor. As diferenças na pressão tendem a mover a bola de volta para o centro. Suponha que uma bola esteja girando no sentido horário ao percorrer o ar da esquerda para a direita. As forças que atuam sobre a bola giratória seriam as mesmas se fossem colocadas em uma corrente de ar que se movesse da direita para a esquerda, como mostrado na figura 15. Figura 15 Bola de giro em um fluxo de ar. Uma fina camada de ar (uma camada limite) é forçada a girar com a bola por causa de atrito viscoso. Em A, o movimento devido ao spin é oposto ao da corrente de ar e, portanto, perto de A há uma região de baixa velocidade onde a pressão é próxima à atmosférica. Em B, a direcção de movimento da camada limite é a mesma da corrente de ar externa e, uma vez que as velocidades são adicionadas, a pressão nesta região é inferior à atmosférica. A bola experimenta uma força que age de A para B, fazendo com que seu trajeto curve. Se o giro era anti-horário, o caminho teria a curvatura oposta. O aparecimento de uma força lateral em uma esfera giratória ou cilindro é chamado o efeito Magnus, e é bem conhecido por todos os participantes em esportes de bola. Especialmente jogadores de beisebol, críquete e tênis. Pressão de estagnação e pressão dinâmica A equação de Bernoullis leva a algumas conclusões interessantes sobre a variação da pressão ao longo de uma linha de fluxo. Considere um fluxo constante que colide com uma placa perpendicular (figura 16). Figura 16. Fluxo de ponto de estagnação. Existe uma linha de transmissão que divide o fluxo pela metade: acima desta linha de fluxo todo o fluxo passa sobre a placa, e abaixo desta linha de fluxo todo o fluxo passa por baixo da placa. Ao longo deste raciocínio de divisão, o fluido move-se em direcção à placa. Uma vez que o fluxo não pode passar através da placa, o fluido deve vir a descansar no ponto onde ele encontra a placa. Em outras palavras, estagnou. O fluido ao longo da divisão, ou estagnação aerodinâmica retarda e, eventualmente, vem descansar sem deflexão no ponto de estagnação. A equação de Bernoullis ao longo da corrida de estagnação dá onde o ponto e está muito a montante eo ponto 0 está no ponto de estagnação. Como a velocidade no ponto de estagnação é zero, A estagnação ou pressão total, p0, é a pressão medida no ponto em que o fluido chega ao repouso. É a pressão mais alta encontrada em qualquer lugar no campo de fluxo, e ocorre no ponto de estagnação. É a soma da pressão estática (p0), ea pressão dinâmica medida a montante. Chama-se pressão dinâmica porque surge do movimento do fluido. A pressão dinâmica não é realmente uma pressão: é simplesmente um nome conveniente para a quantidade (metade da densidade vezes a velocidade ao quadrado), que representa a diminuição da pressão devido à velocidade do fluido. Podemos também expressar a pressão em qualquer parte do fluxo sob a forma de um coeficiente de pressão não dimensional Cp, onde No ponto de estagnação Cp 1, que é o seu valor máximo. No freestream, longe da placa, Cp 0. Tubo de Pitot Uma das aplicações mais imediatas da equação de Bernoullis está na medida da velocidade com um tubo de Pitot. O tubo de Pitot (nomeado após o cientista francês Pitot) é um dos instrumentos os mais simples e os mais úteis nunca planejados. Ele consiste simplesmente em um tubo dobrado em ângulo reto (figura 17). Figura 17. Tubo de Pitot em um túnel de vento. Apontando o tubo diretamente para cima no fluxo e medindo a diferença entre a pressão detectada pelo tubo de Pitot e a pressão do fluxo de ar circundante, pode dar uma medida muito precisa da velocidade. De facto, é provavelmente o método mais exacto disponível para medir a velocidade do fluxo numa base de rotina, e precisões melhores do que 1 são facilmente possíveis. Bernoullis equação ao longo do aerodinâmico que começa muito a montante do tubo e vem para descansar na boca do tubo Pitot mostra o tubo Pitot mede a pressão de estagnação no fluxo. Portanto, para encontrar a velocidade Ve, precisamos conhecer a densidade do ar ea diferença de pressão (p0 - pe). A densidade pode ser encontrada a partir de tabelas padrão se a temperatura ea pressão forem conhecidas. A diferença de pressão é geralmente encontrada indiretamente usando-se uma pressão estática de derivação localizada na parede do túnel de vento, ou na superfície do modelo. Introdução para ARIMA: modelos não sazonais ARIMA (p, d, q) previsão de equação: ARIMA modelos são , Em teoria, a classe mais geral de modelos para prever uma série de tempo que pode ser feita de 8220stationary8221 por diferenciação (se necessário), talvez em conjunto com transformações não-lineares, como logging ou deflação (se necessário). Uma variável aleatória que é uma série de tempo é estacionária se suas propriedades estatísticas são todas constantes ao longo do tempo. Uma série estacionária não tem tendência, suas variações em torno de sua média têm uma amplitude constante, e ele se move de forma consistente. Isto é, os seus padrões de tempo aleatório a curto prazo têm sempre o mesmo aspecto num sentido estatístico. Esta última condição significa que suas autocorrelações (correlações com seus próprios desvios prévios em relação à média) permanecem constantes ao longo do tempo, ou de forma equivalente, que seu espectro de poder permanece constante ao longo do tempo. Uma variável aleatória desta forma pode ser vista (como de costume) como uma combinação de sinal e ruído, eo sinal (se for aparente) poderia ser um padrão de reversão média rápida ou lenta, ou oscilação sinusoidal, ou rápida alternância no sinal , E poderia também ter uma componente sazonal. Um modelo ARIMA pode ser visto como um 8220filter8221 que tenta separar o sinal do ruído, e o sinal é então extrapolado para o futuro para obter previsões. A equação de previsão de ARIMA para uma série de tempo estacionária é uma equação linear (isto é, tipo de regressão) na qual os preditores consistem em atrasos da variável dependente e / ou atrasos dos erros de previsão. Ou seja: Valor previsto de Y uma constante e / ou uma soma ponderada de um ou mais valores recentes de Y e / ou uma soma ponderada de um ou mais valores recentes dos erros. Se os preditores consistem apenas em valores defasados de Y., é um modelo autoregressivo puro (8220 auto-regressado8221), que é apenas um caso especial de um modelo de regressão e que poderia ser equipado com software de regressão padrão. Por exemplo, um modelo autoregressivo de primeira ordem (8220AR (1) 8221) para Y é um modelo de regressão simples no qual a variável independente é apenas Y retardada por um período (LAG (Y, 1) em Statgraphics ou YLAG1 em RegressIt). Se alguns dos preditores são defasagens dos erros, um modelo ARIMA não é um modelo de regressão linear, porque não há maneira de especificar o erro 8222 como uma variável independente: os erros devem ser calculados em base período a período Quando o modelo é ajustado aos dados. Do ponto de vista técnico, o problema com o uso de erros defasados como preditores é que as previsões do modelo não são funções lineares dos coeficientes. Mesmo que sejam funções lineares dos dados passados. Portanto, os coeficientes em modelos ARIMA que incluem erros retardados devem ser estimados por métodos de otimização não-lineares (8220hill-climbing8221) ao invés de apenas resolver um sistema de equações. O acrônimo ARIMA significa Auto-Regressive Integrated Moving Average. Lags das séries estacionalizadas na equação de previsão são chamados de termos quotautorregressivos, os atrasos dos erros de previsão são chamados de quotmoving termos médios e uma série de tempo que precisa ser diferenciada para ser estacionária é dito ser uma versão quotintegrada de uma série estacionária. Modelos de Random-walk e tendência aleatória, modelos autorregressivos e modelos de suavização exponencial são casos especiais de modelos ARIMA. Um modelo ARIMA não sazonal é classificado como um modelo quotARIMA (p, d, q) quot, onde: p é o número de termos autorregressivos, d é o número de diferenças não sazonais necessárias para a estacionaridade e q é o número de erros de previsão defasados em A equação de predição. A equação de previsão é construída como se segue. Em primeiro lugar, vamos dizer a d diferença de Y. o que significa: Note que a segunda diferença de Y (o caso d2) não é a diferença de 2 períodos atrás. Pelo contrário, é a primeira diferença de primeira diferença. Que é o análogo discreto de uma segunda derivada, isto é, a aceleração local da série em vez da sua tendência local. Em termos de y. A equação de previsão geral é: Aqui os parâmetros da média móvel (9528217s) são definidos de modo que seus sinais sejam negativos na equação, seguindo a convenção introduzida por Box e Jenkins. Alguns autores e software (incluindo a linguagem de programação R) definem-los para que eles tenham mais sinais em vez disso. Quando números reais são conectados à equação, não há ambigüidade, mas é importante saber qual convenção seu software usa quando está lendo a saída. Muitas vezes os parâmetros são indicados por AR (1), AR (2), 8230 e MA (1), MA (2), 8230, etc. Para identificar o modelo ARIMA apropriado para Y. você começa por determinar a ordem de diferenciação (D) a necessidade de estacionarizar a série e remover as características brutas da sazonalidade, talvez em conjunto com uma transformação estabilizadora de variância, tal como o desmatamento ou a deflação. Se você parar neste ponto e prever que a série diferenciada é constante, você tem apenas montado uma caminhada aleatória ou modelo de tendência aleatória. No entanto, a série estacionária pode ainda ter erros autocorrelacionados, sugerindo que algum número de termos AR (p 8805 1) e / ou alguns termos MA (q 8805 1) também são necessários na equação de previsão. O processo de determinar os valores de p, d e q que são melhores para uma dada série temporal será discutido em seções posteriores das notas (cujos links estão no topo desta página), mas uma prévia de alguns dos tipos De modelos não-sazonais ARIMA que são comumente encontrados é dada abaixo. ARIMA (1,0,0) modelo autoregressivo de primeira ordem: se a série é estacionária e autocorrelacionada, talvez possa ser predita como um múltiplo de seu próprio valor anterior, mais uma constante. A equação de previsão neste caso é 8230, que é regressão Y sobre si mesma retardada por um período. Este é um modelo 8220ARIMA (1,0,0) constant8221. Se a média de Y for zero, então o termo constante não seria incluído. Se o coeficiente de inclinação 981 1 for positivo e menor que 1 em magnitude (ele deve ser menor que 1 em magnitude se Y estiver parado), o modelo descreve o comportamento de reversão de média no qual o valor do próximo período deve ser 981 vezes 1 Longe da média como valor deste período. Se 981 1 for negativo, ele prevê o comportamento de reversão de média com alternância de sinais, isto é, também prevê que Y estará abaixo do próximo período médio se estiver acima da média neste período. Em um modelo autorregressivo de segunda ordem (ARIMA (2,0,0)), haveria um termo Y t-2 à direita também, e assim por diante. Dependendo dos sinais e magnitudes dos coeficientes, um modelo ARIMA (2,0,0) poderia descrever um sistema cuja reversão média ocorre de forma sinusoidal oscilante, como o movimento de uma massa sobre uma mola submetida a choques aleatórios . Se a série Y não for estacionária, o modelo mais simples possível para ela é um modelo randômico randômico, que pode ser considerado como um caso limitante de um modelo AR (1) em que o modelo autorregressivo Coeficiente é igual a 1, ou seja, uma série com reversão média infinitamente lenta. A equação de predição para este modelo pode ser escrita como: onde o termo constante é a variação média período-período (ou seja, a deriva a longo prazo) em Y. Este modelo poderia ser montado como um modelo de regressão sem interceptação em que o A primeira diferença de Y é a variável dependente. Uma vez que inclui (apenas) uma diferença não sazonal e um termo constante, é classificada como um modelo de ARIMA (0,1,0) com constante. quot O modelo randômico-sem-desvio seria um ARIMA (0,1, 0) sem constante ARIMA (1,1,0) modelo autoregressivo de primeira ordem diferenciado: Se os erros de um modelo de caminhada aleatória são autocorrelacionados, talvez o problema possa ser corrigido adicionando um lag da variável dependente à equação de predição - Eu Pela regressão da primeira diferença de Y sobre si mesma retardada por um período. Isto resultaria na seguinte equação de predição: que pode ser rearranjada para Este é um modelo autorregressivo de primeira ordem com uma ordem de diferenciação não sazonal e um termo constante - isto é. Um modelo ARIMA (1,1,0). ARIMA (0,1,1) sem suavização exponencial simples constante: Uma outra estratégia para corrigir erros autocorrelacionados em um modelo de caminhada aleatória é sugerida pelo modelo de suavização exponencial simples. Lembre-se que para algumas séries temporais não-estacionárias (por exemplo, as que exibem flutuações barulhentas em torno de uma média de variação lenta), o modelo de caminhada aleatória não funciona tão bem quanto uma média móvel de valores passados. Em outras palavras, ao invés de tomar a observação mais recente como a previsão da próxima observação, é melhor usar uma média das últimas observações para filtrar o ruído e estimar com mais precisão a média local. O modelo de suavização exponencial simples usa uma média móvel exponencialmente ponderada de valores passados para conseguir esse efeito. A equação de predição para o modelo de suavização exponencial simples pode ser escrita em um número de formas matematicamente equivalentes. Uma das quais é a chamada 8220error correction8221, na qual a previsão anterior é ajustada na direção do erro que ela fez: Como e t-1 Y t-1 - 374 t-1 por definição, isso pode ser reescrito como : Que é uma equação de previsão ARIMA (0,1,1) sem constante com 952 1 1 - 945. Isso significa que você pode ajustar uma suavização exponencial simples especificando-a como um modelo ARIMA (0,1,1) sem Constante, eo coeficiente MA (1) estimado corresponde a 1-menos-alfa na fórmula SES. Lembre-se que no modelo SES, a idade média dos dados nas previsões de 1 período antecipado é de 1 945, o que significa que tendem a ficar aquém das tendências ou pontos de viragem em cerca de 1 945 períodos. Segue-se que a média de idade dos dados nas previsões de 1 período de um modelo ARIMA (0,1,1) sem constante é de 1 (1 - 952 1). Assim, por exemplo, se 952 1 0,8, a idade média é 5. Quando 952 1 aproxima-se de 1, o modelo ARIMA (0,1,1) sem constante torna-se uma média móvel de muito longo prazo e como 952 1 Aproxima-se 0 torna-se um modelo randômico-caminhada-sem-deriva. Nos dois modelos anteriores discutidos acima, o problema dos erros autocorrelacionados em um modelo de caminhada aleatória foi fixado de duas maneiras diferentes: adicionando um valor defasado da série diferenciada Para a equação ou adicionando um valor defasado do erro de previsão. Qual abordagem é a melhor Uma regra para esta situação, que será discutida em mais detalhes mais adiante, é que a autocorrelação positiva é geralmente melhor tratada pela adição de um termo AR para o modelo e autocorrelação negativa é geralmente melhor tratada pela adição de um MA termo. Nas séries econômicas e de negócios, a autocorrelação negativa muitas vezes surge como um artefato de diferenciação. Portanto, o modelo ARIMA (0,1,1), no qual a diferenciação é acompanhada por um termo de MA, é mais freqüentemente usado do que um modelo de auto-correlação positiva. Modelo ARIMA (1,1,0). ARIMA (0,1,1) com suavização exponencial simples constante com crescimento: Ao implementar o modelo SES como um modelo ARIMA, você realmente ganha alguma flexibilidade. Em primeiro lugar, o coeficiente MA (1) estimado pode ser negativo. Isto corresponde a um factor de suavização maior do que 1 num modelo SES, o que normalmente não é permitido pelo procedimento de ajustamento do modelo SES. Em segundo lugar, você tem a opção de incluir um termo constante no modelo ARIMA se desejar, para estimar uma tendência média não-zero. O modelo ARIMA (0,1,1) com constante tem a equação de predição: As previsões de um período de adiantamento deste modelo são qualitativamente semelhantes às do modelo SES, exceto que a trajetória das previsões de longo prazo é tipicamente uma Inclinada (cuja inclinação é igual a mu) em vez de uma linha horizontal. ARIMA (0,2,1) ou (0,2,2) sem suavização exponencial linear constante: Os modelos lineares de suavização exponencial são modelos ARIMA que utilizam duas diferenças não sazonais em conjunto com os termos MA. A segunda diferença de uma série Y não é simplesmente a diferença entre Y e ela mesma retardada por dois períodos, mas sim é a primeira diferença da primeira diferença - i. e. A mudança na mudança de Y no período t. Assim, a segunda diferença de Y no período t é igual a (Y t - Y t-1) - (Y t-1 - Y t-2) Y t - 2Y t-1 Y t-2. Uma segunda diferença de uma função discreta é análoga a uma segunda derivada de uma função contínua: ela mede a quotaccelerationquot ou quotcurvaturequot na função em um dado ponto no tempo. O modelo ARIMA (0,2,2) sem constante prevê que a segunda diferença da série é igual a uma função linear dos dois últimos erros de previsão: que pode ser rearranjada como: onde 952 1 e 952 2 são MA (1) e MA (2) coeficientes. Este é um modelo de suavização exponencial linear geral. Essencialmente o mesmo que Holt8217s modelo, e Brown8217s modelo é um caso especial. Ele usa médias móveis exponencialmente ponderadas para estimar um nível local e uma tendência local na série. As previsões a longo prazo deste modelo convergem para uma linha recta cujo declive depende da tendência média observada no final da série. ARIMA (1,1,2) sem suavização exponencial linear de tendência amortecida constante. Este modelo é ilustrado nos slides acompanhantes nos modelos ARIMA. Ele extrapola a tendência local no final da série, mas aplana-lo em horizontes de previsão mais longos para introduzir uma nota de conservadorismo, uma prática que tem apoio empírico. Veja o artigo sobre "Por que a tendência de amortecimento" trabalha por Gardner e McKenzie e o artigo de "Rule of Gold" de Armstrong et al. para detalhes. É geralmente aconselhável aderir a modelos nos quais pelo menos um de p e q não é maior do que 1, ou seja, não tente encaixar um modelo como ARIMA (2,1,2), uma vez que isto é susceptível de conduzir a sobre-adaptação E quotcommon-factorquot questões que são discutidas em mais detalhes nas notas sobre a estrutura matemática dos modelos ARIMA. Implementação de planilhas: modelos ARIMA como os descritos acima são fáceis de implementar em uma planilha. A equação de predição é simplesmente uma equação linear que se refere a valores passados de séries temporais originais e valores passados dos erros. Assim, você pode configurar uma planilha de previsão ARIMA armazenando os dados na coluna A, a fórmula de previsão na coluna B e os erros (dados menos previsões) na coluna C. A fórmula de previsão em uma célula típica na coluna B seria simplesmente Uma expressão linear que se refere a valores nas linhas precedentes das colunas A e C, multiplicada pelos coeficientes AR ou MA apropriados armazenados em células noutro local da folha de cálculo.
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